Dowód na maturze podstawowej — dwa schematy na 2 punkty
Dowodu nie da się sprawdzić automatycznie, dlatego trener pyta o krok, który go kończy. Na maturze zapisz całe rozumowanie: przekształcenia równoważne i zdanie końcowe.
Nierówność (2010–2022)
- Przenieś wszystko na jedną stronę.
- Zwiń wyrażenie do kwadratu albo sumy kwadratów: x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1.
- Zakończ: kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa.
Podzielność (od 2023)
- Zapisz liczbę algebraicznie: kolejne liczby n − 1, n, n + 1; liczba nieparzysta 2n + 1.
- Uprość i wyłącz szukany dzielnik przed nawias: 4an = 4a · n.
- Zakończ: iloczyn dzielnika i liczby całkowitej jest podzielny przez ten dzielnik.
Reszty z dzielenia (2014, 2025)
- Liczba z resztą r przy dzieleniu przez d to n = dk + r.
- Rozwiń kwadrat i wyłącz d: (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1.
- Zakończ: reszta ma być mniejsza od dzielnika — tu 1 < 3.
Kolejne liczby parzyste i nieparzyste (2013, 2017, 2026)
- Parzyste: 2n, 2n + 2, 2n + 4; nieparzyste: 2n + 1, 2n + 3, …
- Osobno zsumuj wyrazy z n i wyrazy wolne: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6.
- Wyłącz liczbę składników: 6(n + 1) — iloczyn 6 i liczby całkowitej.
Nierówność z ułamkami, a i b dodatnie (2012, 2013, 2018, 2019)
- Pomnóż każdy składnik obu stron przez ab > 0 — znak nierówności się nie zmienia.
- Przenieś wszystko na lewą stronę i zwiń do kwadratu: a² − 2ab + b² = (a − b)².
- Założenie a, b > 0 jest potrzebne tylko do tego mnożenia.
Dowód geometryczny — kąty w okręgu (2014, 2017, 2019)
- Kąt środkowy jest 2 razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku.
- Kąty przeciwległe czworokąta wpisanego w okrąg dają razem 180°.
- Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.
Dowody geometryczne zdarzały się w arkuszach 2010–2021. Trener ćwiczy w nich jeden kluczowy krok kątowy; na maturze zapisz całe rozumowanie z uzasadnieniem każdej równości kątów.
Wzorce zadań z przykładem i rozwiązaniem
- Nierówność z jedną zmienną — dopełnienie do kwadratu
- Nierówność z dwiema zmiennymi — suma kwadratów
- Podzielność — kluczowe przekształcenie
- Reszta z dzielenia kwadratu
- Suma kolejnych liczb parzystych lub nieparzystych
- Nierówność z ułamkami — pierwszy krok dowodu
- Kąty w okręgu — krok dowodu geometrycznego
Jak działa trener
- Zadania są wzorowane na konkretnych zadaniach z arkuszy CKE. Przy każdym widać, z którego roku i numeru. Zmieniają się tylko liczby, więc nie da się zapamiętać odpowiedzi.
- Złe odpowiedzi nie są przypadkowe. Każda to wynik typowego błędu, a po pomyłce widać, jakiego.
- Trener pamięta, co idzie gorzej, i częściej podsuwa te wzorce. Postęp zapisuje się tylko na tym urządzeniu.