1. Działy
  2. Dowody
  3. Dowody algebraiczne
  4. Nierówność z jedną zmienną — dopełnienie do kwadratu

Nierówność z jedną zmienną — dopełnienie do kwadratu

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2010, zadanie 30; matura 2012, zadanie 27; matura 2013, zadanie 28. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Nierówność z jedną zmienną dowodzisz, dopełniając do kwadratu: x2 + bx = (x + b : 2)2 − (b : 2)2.

Na co uważać. x² − 2px = (x − p)² − p². Kwadrat jest nieujemny — to zawsze ostatni krok dowodu.

Przykładowe zadanie

Uczeń dowodzi, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x2 + 6x + 17 > 0. Który zapis jest równoważny tej nierówności i od razu kończy dowód?
  1. (x + 3)2 + 8 > 0
  2. (x + 3)2 + 17 > 0
  3. (x + 3)2 − 10 > 0
  4. (x + 6)2 − 19 > 0

Odpowiedź i rozwiązanie

A. (x + 3)2 + 8 > 0

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

  • B — Po dopełnieniu do kwadratu trzeba odjąć p² od wyrazu wolnego.
  • C — Rozwiń swój nawias i porównaj z lewą stroną — wyraz wolny się nie zgadza.
  • D — Połowa współczynnika przy x to p, a nie 2p.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Dopełniamy do kwadratu: x2 + 6x = (x + 3)2 − 9.
  2. Nierówność przyjmuje postać (x + 3)2 + 8 > 0. Kwadrat jest nieujemny, a po dodaniu liczby dodatniej wyrażenie jest dodatnie — to kończy dowód.
Rozwiąż zadanie tego typu

W trenerze liczby są za każdym razem inne, a wynik liczy się do twojego postępu.

Inne wzorce w tym temacie