Działy
Dowody
Dowody algebraiczne
Reszta z dzielenia kwadratu

Reszta z dzielenia kwadratu

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2014, zadanie 28; matura 2025, zadanie 5. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Każdą liczbę zapisz jako 3k, 3k + 1 lub 3k + 2 i sprawdź resztę dla każdej postaci.

Na co uważać. Rozwiń kwadrat, wyłącz dzielnik przed nawias i zostaw resztę mniejszą od dzielnika: (3k + 2)² = 3(3k² + 4k + 1) + 1.

Przykładowe zadanie

Liczba całkowita n daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3. Uczeń dowodzi, że n² daje przy dzieleniu przez 4 resztę 1. Zapisał n = 4k + 3, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wyrażenie (4k + 3)² jest równe

4(4k² + 6k + 2) + 1
4(k² + 6k + 2) + 1
4(4k² + 6k + 9) + 1
4(4k² + 6k + 2) + 9

Odpowiedź i rozwiązanie

A. 4(4k² + 6k + 2) + 1

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — (4k)² = 16k² — po wyłączeniu 4 zostaje 4k², a nie k².
C — Wyraz 9 trzeba rozbić na część podzielną przez 4 i resztę: 9 = 4 · 2 + 1.
D — Reszta musi być mniejsza od dzielnika, a 9 ≥ 4 — z 9 da się jeszcze wyłączyć 4.

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwijamy kwadrat: (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9.
Z dwóch pierwszych wyrazów wyłączamy 4, a 9 zapisujemy jako 4 · 2 + 1: 4(4k² + 6k + 2) + 1.
Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, a 1 < 4. Zatem n² daje przy dzieleniu przez 4 resztę 1.