1. Działy
  2. Dowody
  3. Dowody algebraiczne
  4. Nierówność z ułamkami — pierwszy krok dowodu

Nierówność z ułamkami — pierwszy krok dowodu

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2012, zadanie 27; matura 2013, zadanie 28; matura 2018, zadanie 28; matura 2019, zadanie 28. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Mnożysz przez dodatni mianownik (np. ab > 0), więc znak nierówności zostaje, a potem szukasz kwadratu różnicy.

Na co uważać. Mnożąc przez ab > 0, mnóż każdy składnik obu stron i nie zmieniaj znaku; potem szukaj kwadratu różnicy (ua − vb)2.

Przykładowe zadanie

Uczeń dowodzi, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność 4ab + 16ba ≥ 16. Pomnożył obie strony przez ab (ab > 0). Która nierówność jest równoważna danej?
  1. 4a2 + 16b2 ≥ 16ab
  2. 4a2 + 16b2 ≤ 16ab
  3. 4a + 16b ≥ 16ab
  4. 16a2 + 4b2 ≥ 16ab

Odpowiedź i rozwiązanie

A. 4a2 + 16b2 ≥ 16ab

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

  • B — Liczba ab jest dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia.
  • C — ab · ab = a2, a nie a. Ułamek skracamy z jedną ze zmiennych iloczynu.
  • D — ab · ab = a2, więc składnik z a2 zostaje przy a2, a nie przy b2.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Mnożymy każdy składnik przez ab > 0 (znak się nie zmienia): 4a2 + 16b2 ≥ 16ab.
  2. Przenosimy na lewą stronę: 4a2 − 16ab + 16b2 ≥ 0, czyli (2a − 4b)2 ≥ 0. To prawda — dowód gotowy.
  3. Założenie a, b > 0 było potrzebne tylko po to, by pomnożyć przez ab bez zmiany znaku.
Rozwiąż zadanie tego typu

W trenerze liczby są za każdym razem inne, a wynik liczy się do twojego postępu.

Inne wzorce w tym temacie