1. Działy
  2. Dowody
  3. Dowody algebraiczne
  4. Podzielność — kluczowe przekształcenie

Podzielność — kluczowe przekształcenie

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Dowody algebraiczne”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2013, zadanie 31; matura 2014, zadanie 28; matura 2017, zadanie 27; matura 2023, zadanie 3; matura 2024, zadanie 3; matura 2025, zadanie 5; matura 2026, zadanie 7. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Aby wykazać podzielność przez k, zapisz wyrażenie jako iloczyn z czynnikiem k, wyłączając go przed nawias.

Na co uważać. Zapisz liczbę algebraicznie (n, 2n + 1, n − 1, n, n + 1), uprość i wyłącz szukany dzielnik przed nawias.

Przykładowe zadanie

Uczeń dowodzi, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (n + 5)2 − (n − 5)2 jest podzielna przez 20. Po przekształceniu wyrażenie jest równe
  1. 20n + 50
  2. 2n2 + 50
  3. 50
  4. 20n

Odpowiedź i rozwiązanie

D. 20n

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

  • A — Rozwiń oba kwadraty jeszcze raz — a² się redukuje.
  • B — To suma kwadratów, a nie różnica.
  • C — Wyrazy n² i a² się skracają, a nie wyrazy 2an.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. (n2 + 10n + 25) − (n2 − 10n + 25) = 20n.
  2. 20n = 20 · n — iloczyn 20 i liczby całkowitej, więc liczba jest podzielna przez 20.
Rozwiąż zadanie tego typu

W trenerze liczby są za każdym razem inne, a wynik liczy się do twojego postępu.

Inne wzorce w tym temacie