Układ równań z rysunku

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Proste równoległe i prostopadłe”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2024, zadanie 11; matura 2021, zadanie 8; matura 2023, zadanie 10. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Prostą z rysunku opisuje y = ax + b: b to punkt przecięcia z osią Oy, a a to przyrost y na jednostkę x.

Na co uważać. Z rysunku czytaj dwie rzeczy: gdzie prosta przecina oś Oy (to b) i czy rośnie, czy maleje (znak a). Proste równoległe mają takie samo a.

Przykładowe zadanie

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych, przedstawiono dwie proste równoległe. Wskaż układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.

y = −3xy = −3x + 4
y = 3xy = 3x + 4
y = −13xy = −13x + 4
y = −3xy = −3x − 4

Odpowiedź i rozwiązanie

A. y = −3xy = −3x + 4

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — Złe znaki współczynników kierunkowych — prosta „w górę” w prawo ma a > 0, „w dół” a < 0.
C — Odwrócone współczynniki kierunkowe — a mówi, o ile zmienia się y, gdy x rośnie o 1.
D — Złe znaki wyrazów wolnych — b to miejsce, w którym prosta przecina oś Oy.

Rozwiązanie krok po kroku

Wyrazy wolne odczytaj z osi Oy: proste przecinają ją w punktach (0, 0) i (0, 4).
Współczynnik kierunkowy: o ile zmienia się y, gdy x rośnie o 1. Dla pierwszej prostej a = −3, dla drugiej a = −3 — są równe, bo proste są równoległe.
Szukany układ: y = −3xy = −3x + 4.