1. Działy
  2. Ciągi
  3. Ciąg geometryczny
  4. Suma, średnia i ciąg geometryczny

Suma, średnia i ciąg geometryczny

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Ciąg geometryczny”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2015, zadanie 34. Za zadanie jest 5 punktów.

Co trzeba wiedzieć. Średnia arytmetyczna kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o nieparzystej liczbie wyrazów to jego wyraz środkowy.

Na co uważać. Suma nieparzystej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego = liczba wyrazów × wyraz środkowy. To skraca rachunki.

Przykładowe zadanie

Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma 13 początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 624. Średnia arytmetyczna wyrazów a1, a3, a9 jest równa 32. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz k.

Zadanie otwarte za 5 pkt: zapisz rozwiązanie i podaj wynik.

Odpowiedź i rozwiązanie

Wynik: k = 7

Rozwiązanie krok po kroku

  1. S13 = 13 · a7 (środkowy wyraz), więc a7 = 624 : 13 = 48.
  2. a1 = 48 − 6r, a3 = 48 − 4r, a9 = 48 + 2r. Średnia: (144 − 8r) : 3 = 32.
  3. Stąd r = 6, a1 = 12, a3 = 24.
  4. Ciąg geometryczny: ak = a32 : a1 = 576 : 12 = 48.
  5. 12 + (k − 1) · 6 = 48, więc k = 7.
Rozwiąż zadanie tego typu

W trenerze liczby są za każdym razem inne, a wynik liczy się do twojego postępu.

Inne wzorce w tym temacie