Działy
Ciągi
Ciąg arytmetyczny
Średnia wyrazów i numer wyrazu

Średnia wyrazów i numer wyrazu

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Ciąg arytmetyczny”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2019, zadanie 32. Za zadanie są 4 punkty.

Co trzeba wiedzieć. Średnia arytmetyczna kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to średnia pierwszego i ostatniego z nich.

Na co uważać. Średnia n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego = (a₁ + a_n) : 2. Numer wyrazu musi wyjść liczbą naturalną — to dobra kontrola.

Przykładowe zadanie

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, o różnicy r = 6. Średnia arytmetyczna 10 początkowych wyrazów tego ciągu, czyli a₁, a₂, …, a₁₀, jest równa 65. Oblicz pierwszy wyraz ciągu oraz numer k, dla którego a_k = 260.

Zadanie otwarte za 4 pkt: zapisz rozwiązanie i podaj wynik.

Odpowiedź i rozwiązanie

Wynik: a₁ = 38, k = 38

Rozwiązanie krok po kroku

Średnia 10 wyrazów ciągu arytmetycznego to a₁ + a₁₀2, więc a₁ + a₁ + 9r2 = 65.
2a₁ + 54 = 130, więc a₁ = 38.
a_k = 38 + (k − 1) · 6 = 260 ⇒ k − 1 = 222 : 6 = 37, więc k = 38.