Działy
Wyrażenia, równania i nierówności
Wartość bezwzględna
Zbiór zapisany nierównością z modułem

Zbiór zapisany nierównością z modułem

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Wartość bezwzględna”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: podstawa programowa: zapis zbioru nierównością z modułem. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Zbiór liczb odległych od a o co najwyżej b zapisujesz jako |x − a| ≤ b, a odległych o co najmniej b jako |x − a| ≥ b.

Na co uważać. Środek przedziału (lub luki między półprostymi) to a w |x − a|, a liczba po prawej to połowa jego długości. Przedział to „<” albo „≤”, dwie półproste to „>” albo „≥”.

Przykładowe zadanie

Zbiór (−∞, −7) ∪ (−6, +∞) jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

|x + 132| > 1
|x + 132| < 12
|x − 132| > 12
|x + 132| > 12

Odpowiedź i rozwiązanie

D. |x + 132| > 12

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

A — Liczba po prawej stronie to promień, czyli połowa długości zbioru (12), a nie cała długość 1.
B — Zbiór składa się z punktów daleko od środka — tak jest dla „>” i „≥”, a nie dla „<” i „≤”.
C — Środek zbioru to −132, więc w module musi stać x − (−132).

Rozwiązanie krok po kroku

Środek dziury między −7 a −6 to (−7 − 6) : 2 = −132, a połowa jej długości to: (−6 − (−7)) : 2 = 12.
Punkty spoza dziury to te, które leżą dalej od środka niż 12, końce nie należą do zbioru: |x + 132| > 12.