Działy
Wyrażenia, równania i nierówności
Wartość bezwzględna
Nierówność z modułem po przekształceniu

Nierówność z modułem po przekształceniu

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Wartość bezwzględna”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: podstawa programowa: nierówność z modułem po przekształceniu. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Dla b > 0: |x − a| < b to a − b < x < a + b, a |x − a| > b to x < a − b lub x > a + b.

Na co uważać. Najpierw wyodrębnij moduł: przenieś wyraz wolny i podziel przez współczynnik. Dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak. Ujemna prawa strona daje ∅ albo ℝ.

Przykładowe zadanie

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −2|x + 3| − 3 < −1 jest

(−∞, −5) ∪ (−1, +∞)
∅
(−∞, −72) ∪ (−52, +∞)
ℝ

Odpowiedź i rozwiązanie

D. ℝ

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

A — Wyraz −3 przenosimy na drugą stronę ze zmienionym znakiem: po prawej stronie jest −1 − (−3), a nie −1 + (−3).
B — Dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, trzeba odwrócić znak nierówności.
C — Najpierw trzeba przenieść −3 na prawą stronę (ze zmienionym znakiem): −1 − (−3), dopiero potem dzielić przez −2.

Rozwiązanie krok po kroku

Przenosimy −3: −2|x + 3| < 2.
Dzielimy przez −2 — liczba ujemna, więc odwracamy znak: |x + 3| > −1.
Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc jest większa od liczby ujemnej dla każdego x: ℝ.