Działy
Liczby i procenty
Procenty
Układ równań z procentami

Układ równań z procentami

Wzorzec zadania z matury podstawowej z matematyki, temat „Procenty”. Poniżej przykładowe zadanie z rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiąż zadanie tego typu

O tym wzorcu

Takie zadanie było w arkuszach CKE: matura 2024, zadanie 10. Za zadanie jest 1 punkt.

Co trzeba wiedzieć. Procenty w układzie równań zamień na ułamki dziesiętne i rozwiązuj jak zwykły układ.

Na co uważać. Ustal, czego dotyczy warunek (drzewa, które zostały, czy uschły) i który sad stanowi procent którego.

Przykładowe zadanie

W październiku założono dwa sady i posadzono w nich łącznie 1200 drzew. Po roku w pierwszym sadzie uschło 10% drzew, a w drugim — 25%. Uschniętych drzew nie zastąpiono nowymi. Liczba drzew, które zostały w drugim sadzie, stanowiła 30% liczby drzew, które zostały w pierwszym sadzie. Niech x i y oznaczają liczby drzew posadzonych odpowiednio w pierwszym i w drugim sadzie. Układem równań, którego rozwiązaniem są x i y, jest

x + y = 12000,3 · 0,9x = 0,75y
x + y = 12000,1x = 0,3 · 0,25y
x + y = 12000,7 · 0,9x = 0,75y
x + y = 12000,9x = 0,3 · 0,75y

Odpowiedź i rozwiązanie

A. x + y = 12000,3 · 0,9x = 0,75y

Skąd biorą się złe odpowiedzi:

B — To liczby uschniętych drzew, a warunek dotyczy drzew, które zostały.
C — 30% to 0,3, a nie 0,7.
D — Odwrócona zależność — to drugi sad ma stanowić 30% pierwszego.

Rozwiązanie krok po kroku

W pierwszym sadzie zostało 90% drzew: 0,9x, w drugim 75%: 0,75y.
Drugi wynik to 30% pierwszego: 0,75y = 0,3 · 0,9x. Razem z x + y = 1200 to szukany układ.